Derivadas parciais e suas aplicações#
Reta tangente#
Vejamos um exemplo do uso de derivadas parciais para encontrar as reta tangentes à superficie no ponto \((1,0)\).
\[\begin{align*}
&f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \\
&f(x,y) = 4 - x^2 - y^2
\end{align*}\]
Aplicando as derivadas parciais, obtemos:
\[\begin{align*}
\dfrac { \partial f(x,y)}{\partial x} = -2x
\end{align*}\]
\[\begin{align*}
\dfrac { \partial f(x,y)}{\partial y} = -2y
\end{align*}\]
As formulas para encontrar as retas tangentes são:
\[\begin{align*}
z - z0 = \dfrac { \partial f(x,y)}{\partial x}(x-x0)
\end{align*}\]
\[\begin{align*}
z - z0 = \dfrac { \partial f(x,y)}{\partial y}(y-y0)
\end{align*}\]
Substituindo os valores previamente encontrados, obtemos o seguinte gráfico:
Show code cell source
# HIDE CODE
import numpy as np
import plotly.express as px
import plotly.graph_objects as go
Show code cell source
# HIDE CODE
points = 100
proportion = 3
x = np.linspace(-proportion, proportion, points)
y = np.linspace(-proportion, proportion, points)
xGrid, yGrid = np.meshgrid(x, y)
zGrid = 4 - xGrid**2 - yGrid**2
fig = go.Figure(data=[go.Surface(z=zGrid, x=xGrid, y=yGrid)])
fig.add_scatter3d(x=x, y=np.zeros(len(x)), z=(-2*x + 5), mode='lines', line_width=6, line_color='black')
fig.show()
Plano tangente#
Vejamos a aplicação das derivadas parciais para determinar um plano tangente á superfície, utilizaremos a mesma figura e pontos do exemplo anterior:
\[\begin{align*}
&f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \\
&f(x,y) = 4 - x^2 - y^2
\end{align*}\]
As derivadas de \(f(x,y)\) seguem as mesmas:
\[\begin{align*}
\dfrac { \partial f(x,y)}{\partial x} = -2x
\end{align*}\]
\[\begin{align*}
\dfrac { \partial f(x,y)}{\partial y} = -2y
\end{align*}\]
Entretanto, a fórmula agora é outra, podemos encontrar o plano tangente com a seguinte equação:
\[\begin{align*}
z-z_0 = \dfrac { \partial f(x,y)}{\partial x}(x-x_0) + \dfrac { \partial f(x,y)}{\partial y}(y-y_0)
\end{align*}\]
No caso, o ponto \(z_0\) é a função \(f(x,y)\) calculada no ponto \((1,0)\).
Substituindo os valores previamente encontrados, obtemos o seguinte gráfico:
Show code cell source
# HIDE CODE
points = 100
proportion = 3
x0 = 1
y0 = 0
z0 = 4 - x0**2 - y0**2
x = np.linspace(-proportion, proportion, points)
y = np.linspace(-proportion, proportion, points)
xGrid, yGrid = np.meshgrid(x, y)
zGrid = 4 - xGrid**2 - yGrid**2
fig = go.Figure(data=[go.Surface(z=zGrid, x=xGrid, y=yGrid, showscale=False),
go.Surface(x=xGrid, y=yGrid, z=(z0 -2*x0*(xGrid - x0) -2*y0*(yGrid - y0)), showscale=False)])
fig.show()